Андрей Клименко родился 12 июня 1956 года в поселке Щетово Антрацитовского района Луганской области. В 1975 году закончил Луганское художественное училище.
После службы в армии поступил в Московский институт имени Сурикова, где в 1988 году получил диплом живописца.
Первая персональная выставка "Образы славяно-русского и скифского эпоса" прошла в феврале-марте 1990 г. в залах общества охраны памятников (дом Телешова). Затем последовали выставки:
- в Театре на Таганке (февраль 1992 г.);
— в дивизии особого назначения при Правительстве России (ноябрь — декабрь 1992 г.);
— в залах Украинского Посольства в России (январь — февраль 1994 г.).
В августе 1994 года на X Международном Конгрессе участников космических полетов в Москве состоялась выставка живописи "Русский космос". Художник Андрей Клименко был награжден почетным дипломом "Царь-колокол".
