Когда пересекаются параллельные прямые

Автор:
NikoniX
Печать
дата:
14 марта 2019 00:16
Просмотров:
1178
Комментариев:
8
Из школьного курса геометрии каждому человеку известно, что параллельными именуются прямые, которые не имеют общей точки. Однако это простое утверждение почему-то изредка опровергается различными знакомыми, которые доказывают, что коллинеарные линии могут пересекаться. В реальности, геометрия Евклида, которую преподают в школе не единственный вариант этой науки. При более конкретном исследовании выясняется, что пересечение параллельных прямых зависит от формы поверхности, на которой они проведены. Рассмотрим несколько различных вариантов геометрий, принципиально отличающихся друг от друга.

Когда пересекаются параллельные прямые




Геометрия Евклида

Когда пересекаются параллельные прямые

Евклид. Источник изображения: istock.com


Это привычная всем геометрия, имеющая историю в не одну тысячу лет. Ее начала были известны еще в Древнем Египте, а аксиомы (постулаты, утверждения) были сформулированы в Древней Греции выдающимся математиком древности Евклидом. Все его утверждения не вызывали сомнений, кроме пятого. Это утверждение показывало, что через точку, лежащую вне прямой, есть возможность провести единственную прямую коллинеарную заданной. Коллинеарные прямые в этом случае не пересекаются. Сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым углам. Однако попытки математически доказать 5 постулат Евклида упирались в порочный круг.

Однако житейский опыт дает возможность не совсем верить в справедливость утверждения, что параллельные прямые не пересекаются - если смотреть на ровное железнодорожное полотно, то будет впечатление, что где-то вдалеке параллельные рельсы сойдутся в одну точку. То же самое касается и лучей идущих от точечного источника - тени от разных предметов параллельны, но оставившие их лучи вышли из одной точки.

Приведенные выше рассуждения дали возможность создать проективную геометрию, которая дополняет привычную Евклидову прямую бесконечно удаленной точкой, а на плоскости появляется прямая бесконечно удаленных точек. Вот на этой прямой и пересекаются все коллинеарные прямые.

Геометрия Лобачевского

Когда пересекаются параллельные прямые

Николай Иванович Лобачевский. Источник изображения: wikipedia.org


В 19 веке Николай Иванович Лобачевский, а также немец Гаусс и венгр Больяи, предложили геометрию, в которой имеются минимум 2 прямые коллинеарные заданной. Эти прямые пересекаются между собой и приближаются к заданной прямой с двух различных направлений. Место их пересечения с заданной прямой находится в бесконечно удаленной точке. Прямые, которые пересекаются с заданной прямой еще дальше, называются сверхпараллельными.

Наглядно это можно представить, если изобразить плоскость, как овал, и провести внутри него прямую. Линия границы овала будет представлять в таком варианте прямую бесконечно удаленных точек. Затем вне данной прямой зафиксируем точку и проведем через нее 2 прямые, пересекающие заданную на границе овала (то есть на прямой бесконечно удаленных точек). Эти 2 прямые и будут называться параллельными. Те же прямые, которые пересекаются с данной прямой за пределами овала окажутся сверхпараллельными.

Согласно последним научным данным, геометрия Лобачевского имеет место в реальной природе вблизи крупных тяготеющих масс, где само пространство перестает быть плоским и получает кривизну. Сумма углов треугольника в этом варианте не достигает 180 градусов.

Сферическая геометрия и геометрия Римана

Когда пересекаются параллельные прямые

Гео́рг Фри́дрих Бе́рнхард Ри́ман — немецкий математик, механик и физик. Источник изображения: wikipedia.org


Тоже в 19 веке немец Риман по-своему проанализировал 5 утверждение Евклида и предположил, что коллинеарных прямых нет в принципе. На основании своего предположения Риман создал геометрию, в которой у всех прямых имеется общая точка, а сумма углов треугольника превышает 180 градусов. Нет в геометрии Римана и понятия, что точка лежит между двумя другими точками. Но это вполне реальная с математической точки зрения геометрия.

Объяснить римановскую геометрию на доступном примере сложно, поэтому имеет смысл обратиться к близкой к ней по множеству характеристик сферической геометрии (правда, здесь параллельные прямые пересекаются сразу в 2 точках).

Когда пересекаются параллельные прямые

параллели и меридианы. Источник изображения: m-globe.ru


Рассмотрим в качестве сферы нашу планету Земля. Как одну из прямых возьмем экватор, а в качестве коллинеарных между собой прямых будем считать меридианы. Они коллинеарны друг относительно друга, поскольку пересекают экватор под прямым углом (углом между пересекающимися линиями в математике является угол между их касательными, проведенными в точке пересечения данных линий). Однако известно, что меридианы пересекаются на полюсах.

Когда пересекаются параллельные прямые

(1) евклидова геометрия; (2) геометрия Римана; (3) геометрия Лобачевского. Источник изображения: wikipedia.org


Общим выводом, ради которого была написана статья, является утверждение, что нельзя достоверно сказать, пересекаются параллельные прямые или нет, если дополнительно не указывать, какой из видов геометрии имеется в виду.

1 не понравился
7 понравился пост
 
Незарегистрированные посетители не могут оценивать посты
 
 
 
 


 
 
 
 

Комментарии

 
 

 
 
 
bremy
Дата:
(14 марта 2019 01:59)
#1
Ну и в каком месте эти параллельные линии ПРЯМЫЕ ? Только в Эвклиде !
У меня все hmm

 
Манту не кошка, смочи немножко
Николаев [ссылка]
0 / 2
 
 
 
 
 
 
Хемуль
Дата:
(14 марта 2019 03:10)
#2
Плять, параллельные прямые не пересекаются. Никогда. Просто потому, что у них в определении так сказано: "прямые, которые на плоскости не пересекаются, называются параллельными". Если прямые на плоскости (не важно с какой топологией) пересекаются, то они не могут называться параллельными тупо по определению.

Цитата: bremy
Ну и в каком месте эти параллельные линии ПРЯМЫЕ ? Только в Эвклиде !
В геометрии "прямой" нынче называется не то, что реально ровное и прямое, как по линейке. Прямая - это линия, задаваемая геометрическим уравнением первой степени. Типа Ах+Вy+C=0. При неевклидовой топологии пространства сама плоскость получается изогнутой и ее "прямые" также кажутся гнутыми. Но если посмотреть в координатах такой плоскости - эти прямые полностью удовлетворяют данному уравнению. Просто из-за того, что всякие Риманы и Лобаческие жили гораздо позже зарождения геометрической терминологии - получилось, что получилось. И теперь "прямая", "плоскость" и название некоторых других подобных абстрактных объектов - это буквально личные имена, которые случайно совпадают с привычными нам словами (хотя раньше они были именно синонимами, фактически и получив свои имена за свои свойства). Т.е. "прямая" - это не синоним прилагательного прямой (именно в геометрии), а личное имя объекта, которое состоит из букв П, Р, Я, М, А и Я. Примерно такая же ситуация будет, если какой-нибудь собаке дать кличку "Кошка" или там "Черепаха".
 
Ordnung muss sein
Санкт-Петербург [ссылка]
1 / 0
 
 
 
 
 
 
Immelstorunn
Дата:
(14 марта 2019 10:56)
#3
Цитата: Хемуль
Плять, параллельные прямые не пересекаются. Никогда. Просто потому, что у них в определении так сказано.

Беру карандаш (прямая), кладу на стол. Беру второй карандаш, держу в руке. Пересекаются? Нет. Параллельные? Нет. Так что все эти ваши "тупо по определению" справедливы в рамках только одной теории (та же евклидова плоскостная геометрия), о чем, собственно, в статье и сказано.
 
Non vulvam, non Rubrum Legionem
Томск [ссылка]
1 / 3
 
 
 
 
 
 
Хемуль
Дата:
(14 марта 2019 12:25)
#4
Цитата: Immelstorunn
Цитата: Хемуль
Плять, параллельные прямые не пересекаются. Никогда. Просто потому, что у них в определении так сказано.

Беру карандаш (прямая), кладу на стол. Беру второй карандаш, держу в руке. Пересекаются? Нет. Параллельные? Нет. Так что все эти ваши "тупо по определению" справедливы в рамках только одной теории (та же евклидова плоскостная геометрия), о чем, собственно, в статье и сказано.
Специально для непонятливых у меня в определении дважды написано "на плоскости". В пространстве (3,4,5, ... - размерном) прямые, не имеющие общих точек, называются скрещивающимися.
 
Ordnung muss sein
Санкт-Петербург [ссылка]
0 / 0
 
 
 
 
 
 
Immelstorunn
Дата:
(14 марта 2019 19:57)
#5
Цитата: Хемуль
Специально для непонятливых у меня в определении дважды написано "на плоскости".

Специально, для читающих через строчку, говорю еще раз. Ваше "тупо по определению" справедливо только для плоскостной геометрии Евклида. И приведенный мною пример призван показать абсурдность утверждений, базирующихся на частичном удалении текста из базовых определений. Хренли вы со своим определением из одной дисциплины лезете в дисциплину другую, пускай и имеющую много общего с первой?
 
Non vulvam, non Rubrum Legionem
Томск [ссылка]
0 / 0
 
 
 
 
 
 
Хемуль
Дата:
(14 марта 2019 21:22)
#6
Цитата: Immelstorunn
Цитата: Хемуль
Специально для непонятливых у меня в определении дважды написано "на плоскости".

Специально, для читающих через строчку, говорю еще раз. Ваше "тупо по определению" справедливо только для плоскостной геометрии Евклида. И приведенный мною пример призван показать абсурдность утверждений, базирующихся на частичном удалении текста из базовых определений. Хренли вы со своим определением из одной дисциплины лезете в дисциплину другую, пускай и имеющую много общего с первой?
Это "тупо по определению" справедливо для плоскости. Распространять ее на пространства большей размерности - в крайней степени глупо. И что-то удалять из этого определения - тоже крайне глупо. Вы не как-то не разобравшись в предмете влезли не понять с каким утверждением и теперь это что-то пытаетесь доказать. Нужно различать геометрию на плоскости и тригонометрию - если Вы пытаетесь как-то перенести определения из одного в другое - то не стоит так делать.
 
Ordnung muss sein
Санкт-Петербург [ссылка]
0 / 0
 
 
 
 
 
 
Immelstorunn
Дата:
(15 марта 2019 13:33)
#7
Цитата: Хемуль
Нужно различать геометрию на плоскости и тригонометрию

Вообще проникся. А что, по-вашему, геометрия с количеством измерений больше 2 - это тригонометрия? Наверное, еще от слова "три"?
Загуглите, что такое "тригонометрия", не позорьтесь, явно показывая, кто именно не разбирается в предмете.
Цитата: Хемуль
Это "тупо по определению" справедливо для плоскости. Распространять ее на пространства большей размерности - в крайней степени глупо. И что-то удалять из этого определения - тоже крайне глупо.

То есть удалить из определения часть про Евклида - нормально, тем самым распространив это определение на геометрию Римана и Лобачевского, а часть про плоскость, чтобы распространить определение на трехмерное пространство - крайне глупо? Вот и двойные стандарты подъехали.
За сим откланяюсь, слишком разный уровень в подготовке, чтобы вести осмысленный диалог.
 
Non vulvam, non Rubrum Legionem
Томск [ссылка]
0 / 0
 
 
 
 
 
 
Хемуль
Дата:
(15 марта 2019 14:16)
#8
Цитата: Immelstorunn

Вообще проникся. А что, по-вашему, геометрия с количеством измерений больше 2 - это тригонометрия? Наверное, еще от слова "три"?
Загуглите, что такое "тригонометрия", не позорьтесь, явно показывая, кто именно не разбирается в предмете.
Вот действительно - не позорьтесь. Вы в школу не ходили что ли? Так что гуглите. И я, может быть, удивлю еще больше, но есть куча всяких "метрий", к примеру планиметрия.

Цитата: Immelstorunn
То есть удалить из определения часть про Евклида - нормально, тем самым распространив это определение на геометрию Римана и Лобачевского, а часть про плоскость, чтобы распространить определение на трехмерное пространство - крайне глупо? Вот и двойные стандарты подъехали.
Удалять из определения что-либо вообще не нормально. Совершенно не понятно, откуда Вам пришла такая бредовая идея - взять и удалить кусок определения. Ибо любое определение содержит необходимые и достаточные пункты, что бы выделить и описать некий объект. Это ж блин элементарные вещи в науке в целом. <_<

Цитата: Immelstorunn
За сим откланяюсь, слишком разный уровень в подготовке, чтобы вести осмысленный диалог.
Да, действительно. Подтяните сначала знания в соответствующих предметах, а потом можно дискутировать. :)
 
Ordnung muss sein
Санкт-Петербург [ссылка]
0 / 0
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

Информация

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Оставлять свои CRAZY комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
Пожалуйста пройдите простую процедуру регистрации или авторизируйтесь под своим логином. Также вы можете войти на сайт, используя существующий профиль в социальных сетях (Вконтакте, Одноклассники, Facebook, Twitter и другие)

 
 
 
 
 
Наверх