Парадокс Монти Холла

Автор:
penrosa
Печать
дата:
16 сентября 2014 17:08
Просмотров:
3475
Комментариев:
15
Парадокс Монти Холла


Представьте, что некий банкир предлагает вам выбрать одну из трёх закрытых коробочек. В одной из них 50 центов, в другой – один доллар, в третьей – 10 тысяч долларов. Какую выберете, та вам и достанется в качестве приза.

Вы выбираете наугад, скажем, коробочку №1. И тут банкир (который, естественно, знает, где что) прямо на ваших глазах открывает коробочку с одним долларом (допустим, это №2), после чего предлагает вам поменять изначально выбранную коробочку №1 на коробочку №3.

Стоит ли вам менять своё решение? Увеличатся ли при этом ваши шансы получить 10 тысяч?


Это и есть парадокс Монти Холла — задача теории вероятности, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу. Над этой задачей люди ломают головы с 1975 года.

Парадокс получил название в честь ведущего популярного американского телешоу «Let’s Make a Deal». В этом телешоу были похожие правила, только участники выбирали двери, за двумя из которых прятались козы, за третьей – Кадиллак.

Парадокс Монти Холла


Большинство игроков рассуждали, что после того, как закрытых дверей осталось две и за одной из них находится Кадиллак, то шансы его получить 50-50.Очевидно, что когда ведущий открывает одну дверь и предлагает вам поменять своё решение, он начинает новую игру. Поменяете вы решение или не поменяете, ваши шансы всё равно будут равны 50 процентам. Так ведь?

Оказывается, что нет. На самом деле, поменяв решение, вы удвоите шансы на успех. Почему?

Наиболее простое объяснение этого ответа состоит в следующем соображении. Для того, чтобы выиграть автомобиль без изменения выбора, игрок должен сразу угадать дверь, за которой стоит автомобиль. Вероятность этого равна 1/3. Если же игрок первоначально попадает на дверь, за которой стоит коза (а вероятность этого события 2/3, поскольку есть две козы и лишь один автомобиль), то он может однозначно выиграть автомобиль, изменив своё решение, так как остаются автомобиль и одна коза, а дверь с козой ведущий уже открыл.

Таким образом, без смены выбора игрок остаётся при своей первоначальной вероятности выигрыша 1/3, а при смене первоначального выбора, игрок оборачивает себе на пользу в два раза большую оставшуюся вероятность того, что в начале он не угадал.

Также интуитивно понятное объяснение можно сделать, поменяв местами два события. Первое событие — принятие решения игроком о смене двери, второе событие — открытие лишней двери. Это допустимо, так как открытие лишней двери не дает игроку никакой новой информации (док-во см. в этой статье).
Тогда задачу можно свести к следующей формулировке. В первый момент времени игрок делит двери на две группы: в первой группе одна дверь (та что он выбрал), во второй группе две оставшиеся двери. В следующий момент времени игрок делает выбор между группами. Очевидно, что для первой группы вероятность выигрыша 1/3, для второй группы 2/3. Игрок выбирает вторую группу. Во второй группе он может открыть обе двери. Одну открывает ведущий, а вторую сам игрок.

Попробуем дать «самое понятное» объяснение. Переформулируем задачу: Честный ведущий объявляет игроку, что за одной из трех дверей — автомобиль, и предлагает ему сначала указать на одну из дверей, а после этого выбрать одно из двух действий: открыть указанную дверь (в старой формулировке это называется «не изменять своего выбора») или открыть две другие (в старой формулировке это как раз и будет «изменить выбор». Подумайте, здесь и заключен ключ к пониманию!). Ясно, что игрок выберет второе из двух действий, так как вероятность получения автомобиля в этом случае в два раза выше. А та мелочь, что ведущий ещё до выбора действия «показал козу», никак не помогает и не мешает выбору, ведь за одной из двух дверей всегда найдется коза и ведущий обязательно её покажет при любом ходе игры, так что игрок может на эту козу и не смотреть. Дело игрока, если он выбрал второе действие — сказать «спасибо» ведущему за то, что он избавил его от труда самому открывать одну из двух дверей, и открыть другую. Ну, или ещё проще. Представим себе эту ситуацию с точки зрения ведущего, который проделывает подобную процедуру с десятками игроков. Поскольку он прекрасно знает, что находится за дверями, то, в среднем, в двух случаях из трёх, он заранее видит, что игрок выбрал «не ту» дверь. Поэтому уж для него точно нет никакого парадокса в том, что, правильная стратегия состоит в изменении выбора после открытия первой двери: ведь тогда в тех же двух случаях из трёх игрок будет уезжать со студии на новой машине.

Наконец, самое «наивное» доказательство. Пусть тот, кто стоит на своем выборе, называется «Упрямым», а тот, кто следует указаниям ведущего, зовется «Внимательным». Тогда Упрямый выигрывает, если он изначально угадал автомобиль (1/3), а Внимательный — если он вначале промахнулся и попал на козу (2/3). Ведь только в этом случае он потом укажет на дверь с автомобилем.

Парадокс Монти Холла

Монти Холл, продюсер и ведущий шоу Let’s Make a Deal с 1963-го по 1991 год.


В 1990 году эта задача и её решение были опубликованы в американском журнале “Parade”. Публикация вызвала шквал возмущённых отзывов читателей, многие из которых обладали научными степенями.

Главная претензия заключалась в том, что не все условия задачи были оговорены, и любой нюанс мог повлиять на результат. Например, ведущий мог предложить поменять решение только в том случае, если игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора в такой ситуации приведёт к гарантированному проигрышу.

Однако за всё время существования телешоу Монти Холла люди, менявшие решение, действительно выигрывали вдвое чаще:

Из 30 игроков, поменявших первоначальное решение, Кадиллак выиграли 18 – то есть 60%

Из 30 игроков, которые остались при своём выборе, Кадиллак выиграли 11 – то есть примерно 36%

Так что приведённые в решении рассуждения, какими бы нелогичными они не казались, подтверждаются практикой.

Увеличение количества дверей


Для того, чтобы легче понять суть происходящего, можно рассмотреть случай, когда игрок видит перед собой не три двери, а, например, сто. При этом за одной из дверей находится автомобиль, а за остальными 99 — козы. Игрок выбирает одну из дверей, при этом в 99 % случаев он выберет дверь с козой, а шансы сразу выбрать дверь с автомобилем очень малы — они составляют 1 %. После этого ведущий открывает 98 дверей с козами и предлагает игроку выбрать оставшуюся дверь. При этом в 99 % случаев автомобиль будет находиться за этой оставшейся дверью, поскольку шансы на то, что игрок сразу выбрал правильную дверь, очень малы. Понятно, что в этой ситуации рационально мыслящий игрок должен всегда принимать предложение ведущего.

При рассмотрении увеличенного количества дверей нередко возникает вопрос: если в оригинальной задаче ведущий открывает одну дверь из трёх (то есть 1/3 от общего количества дверей), то почему нужно предполагать, что в случае 100 дверей ведущий откроет 98 дверей с козами, а не 33 ? Это соображение является обычно одной из существенных причин того, почему парадокс Монти Холла входит в противоречие с интуитивным восприятием ситуации. Предполагать открытие 98 дверей будет правильным потому, что существенным условием задачи является наличие только одного альтернативного варианта выбора для игрока, который и предлагается ведущим. Поэтому для того, чтобы задачи были аналогичными, в случае 4 дверей ведущий должен открывать 2 двери, в случае 5 дверей — 3, и так далее, чтобы всегда оставалась одна неоткрытая дверь кроме той, которую изначально выбрал игрок. Если ведущий будет открывать меньшее количество дверей, то задача уже не будет аналогична оригинальной задаче Монти Холла.

Следует отметить, что в случае множества дверей, даже если ведущий будет оставлять закрытой не одну дверь, а несколько, и предлагать игроку выбрать одну из них, то при смене первоначального выбора шансы игрока выиграть автомобиль всё равно будут увеличиваться, хотя и не столь значительно. Например, рассмотрим ситуацию, когда игрок выбирает одну дверь из ста, и затем ведущий открывает только одну дверь из оставшихся, предлагая игроку изменить свой выбор. При этом шансы на то, что автомобиль находится за первоначально выбранной игроком дверью, остаются прежними — 1/100, а для остальных дверей шансы изменяются: суммарная вероятность того, что автомобиль находится за одной из оставшихся дверей (99/100) распределяется теперь не на 99 дверей, а на 98. Поэтому вероятность нахождения автомобиля за каждой из этих дверей будет равна не 1/100, а 99/9800. Прирост вероятности составит примерно 1 %.

Парадокс Монти Холла


Дерево возможных решений игрока и ведущего, показывающее вероятность каждого исхода
Более формально сценарий игры может быть описан c помощью дерева принятия решений. В первых двух случаях, когда игрок сначала выбрал дверь, за которой находится коза, изменение выбора приводит к выигрышу. В двух последних случаях, когда игрок сначала выбрал дверь с автомобилем, изменение выбора приводит к проигрышу.

Парадокс Монти Холла


Если же вам непонятно все равно, плюньте на формулы и просто проверьте всё статистически.

Такая вот занимательная математика.





3 не понравился
30 понравился пост
 
Незарегистрированные посетители не могут оценивать посты
 
 
 
 

 
 
 
 

Комментарии

 
 

 
 
 
Бухарик
Дата:
(16 сентября 2014 17:45)
#1
Убейте меня, я нихера не понял !
 
Я не грустный, я трезвый
Томск [ссылка]
4 / 5
 
 
 
 
 
 
PIKNIC15
Дата:
(16 сентября 2014 17:57)
#2
И тем не мение это всего лишь цифры, и вероятность выигрыша остается 50\50
Томск [ссылка]
10 / 10
 
 
 
 
 
 
ap_den
Дата:
(16 сентября 2014 19:32)
#3
(1/2+1/2*1/3)*100%

1/2*1/3-как раз те бонусы))
Новосибирск [ссылка]
0 / 0
 
 
 
 
 
 
Sandro
Дата:
(16 сентября 2014 19:33)
#4
Что-то из серии:
Какова вероятность встретить динозавра на улице?
50% - или встречу, или не встречу.
Томск [ссылка]
6 / 2
 
 
 
 
 
 
Welsper
Дата:
(16 сентября 2014 19:35)
#5
Да как можно было это не понять: "Наконец, самое наивное доказательство..." ?
Просто же все:
Остаемся на своем - выигрываем в 1/3 случаев (когда угадали сразу)
Меняем выбор - выигрываем в 2/3 случаев (когда НЕ угадали сразу)
Томская область > Северск [ссылка]
3 / 0
 
 
 
 
 
 
0PP0S1T3
Дата:
(16 сентября 2014 19:38)
#6
Да, тервер был одним из моих любимых предметов:)
Томск [ссылка]
0 / 0
 
 
 
 
 
 
andkaram
Дата:
(16 сентября 2014 20:11)
#7
Интересно сколько человек прое...теряли свой кадиллак изменив свой выбор)))
Новосибирск [ссылка]
2 / 0
 
 
 
 
 
 
Баянчег
Дата:
(16 сентября 2014 20:24)
#8
херня это все:
берем 2-х участников и 3 двери, первый выбирает правую дверь, второй левую. Ведущий открывает центральную - там коза.
У кого из 2-х участников увеличились шансы на выигрыш?
Краснодар [ссылка]
1 / 2
 
 
 
 
 
 
Баянчег
Дата:
(16 сентября 2014 21:09)
#9
Краснодар [ссылка]
2 / 0
 
 
 
 
 
 
alattar
Дата:
(16 сентября 2014 22:00)
#10
Только что накидал простую программу, чтобы проверить парадокс. И пока писал, даже не запуская, понял, что действительно все так и есть, хотя это не укладывается в голове. Перефразируя парадокс, задача звучит так:

Если с первого раза угадаешь дверь (33%), то, изменив решение, ты проиграешь.
Если с первого раза НЕ угадаешь дверь (66%), то, изменив решение, ты выиграешь.

Отсюда хорошо видно, почему надо менять дверь. Потому что в 2/3 случаев ты выбрал с первого раза неверно. Поэтому, когда ведущий открывает дверь с козой, у вас 66% шанс победить, изменив свой выбор.
Томская область > Северск [ссылка]
1 / 0
 
 
 
 
 
 
alattar
Дата:
(16 сентября 2014 22:21)
#11
...То есть (так как на 2 оставшиеся двери приходится 66% успеха) ведущий, открыв "ложную" дверь, дает вам стопроцентный шанс выиграть в этих 66% случаев. Если бы ведущий не открыл дверь, вероятность по прежнему была половина от 66%, то есть те же 33%, и менять дверь не имело бы смысла.

Фух, спасибо, меня отпустило.
Томская область > Северск [ссылка]
0 / 0
 
 
 
 
 
 
VSMIVE
Дата:
(16 сентября 2014 22:32)
#12
Цитата: PIKNIC15
И тем не мение это всего лишь цифры, и вероятность выигрыша остается 50\50

зря ты так думаешь! тервер формула замены переменной
Томск [ссылка]
1 / 3
 
 
 
 
 
 
Toss
Дата:
(16 сентября 2014 23:29)
#13
PIKNIC15
Туго у тебя с математикой и теорией вероятности.
Тут все элементарно! Нарисуйте для наглядности 10 дверей и сразу поймете:

Вероятность угадать с первого раза 10%(проиграть 90%). Ведущий точно знает какая дверь выигрышная! Дальше он оставляет вашу дверь и выигрышную, убирая заведомо 8 неверных. Теперь самое интересное - даже после того как осталось 2 двери, вероятность выигрыша вашей двери останется 10% (а не 50% на 50%), так как с самого начала вы выбирали из 10 дверей! Если вы поменяете выбор, то вероятность выигрыша другой двери будет 90%!!!!!

В случае с 3 дверьми проценты будут 33 и 66
Томск [ссылка]
0 / 4
 
 
 
 
 
 
PIKNIC15
Дата:
(17 сентября 2014 01:20)
#14
Цитата: VSMIVE
Цитата: PIKNIC15
И тем не мение это всего лишь цифры, и вероятность выигрыша остается 50\50
зря ты так думаешь! тервер формула замены переменной

Цитата: Toss
PIKNIC15
Туго у тебя с математикой и теорией вероятности.
Тут все элементарно! Нарисуйте для наглядности 10 дверей и сразу поймете:

Вероятность угадать с первого раза 10%(проиграть 90%). Ведущий точно знает какая дверь выигрышная! Дальше он оставляет вашу дверь и выигрышную, убирая заведомо 8 неверных. Теперь самое интересное - даже после того как осталось 2 двери, вероятность выигрыша вашей двери останется 10% (а не 50% на 50%), так как с самого начала вы выбирали из 10 дверей! Если вы поменяете выбор, то вероятность выигрыша другой двери будет 90%!!!!!

В случае с 3 дверьми проценты будут 33 и 66


Это было моё первое мнение.. После этого я решил сам провести эксперимент и все понял.... Как ни странно у меня вышло не меняя мнение (дверь) 8из10 меняя мнение 9из10..
Это очень тяжело уложить в голове...
Томская область > Северск [ссылка]
0 / 4
 
 
 
 
 
 
fst
Дата:
(17 сентября 2014 11:58)
#15
Исходя из условия, что ведущий не может и не хочет открывать дверь с автомобилем, не изменяя решения необходимо выбрать нужную дверь с первой попытки, шанс - 1/3.
Изменяя решение необходимо выбрать дверь с любой козой на первой попытке, шанс - 2/3. Просто же.


Томская область > Северск [ссылка]
0 / 0
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

Информация

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Оставлять свои CRAZY комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
Пожалуйста пройдите простую процедуру регистрации или авторизируйтесь под своим логином. Также вы можете войти на сайт, используя существующий профиль в социальных сетях (Вконтакте, Одноклассники, Facebook, Twitter и другие)

 
 
 
 
 
Наверх